소수는 무한할까요?
대부분 소수는 무한하다고 직관적으로 생각하거나
어디선가 들어봤을 것 입니다.
그러나 소수가 무한한게 확실할까요?
매우 큰 어떤 수를 기준으로 그 이상에는 소수가 없을 수도 있지 않을까요?
물론 많은 사람들이 알듯 소수는 무한합니다.
이번 글은 직관이 아닌, 논리와 수학을 통해
소수가 무한한 이유에 대해 포스팅합니다.
우리가 알고 있는 소수는 2부터 시작해
2, 3, 5, 7... 으로 이어집니다.
이 소수들에 각각
$ p_{1} = 2$
$ p_{2} = 3$
$ p_{3} = 5$
$ p_{4} = 7$
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이런 방식으로 기호로 표현할 수 있습니다.
먼저 소수가 유한하다고 가정합니다.
그렇다면 가장 큰 소수를 $ p_{k} $ 라고 할 수 있습니다.
이제
$ P = p_{1} p_{2} p_{3} ... p_{k} +1 $
처럼 $ p_{k} $까지의 소수를 모두 곱하고 1을 더한 수를 가정합니다.
이 수는 소수일까요 합성수일까요?
만약 합성수라면 1과 자기자신을 제외한 약수가 존재해야 합니다.
그러나 $ P$ 는
$p_{1}, p_{2} , ... , p_{k}$로 각각 나눴을 때
모두 나머지가 1이 남습니다.
그렇다면 이제 경우는 2가지 입니다.
1. $P$가 소수이다.
2. $P$가 $ p_{1},p_{2}, ... , p_{k}$이 아닌 소수의 곱으로 표현되는 합성수이다.
1번일 경우와 2번일 경우 모두 맨처음 설정한 소수가 유한하다는 가정에 모순됩니다.
그래서 결국 소수는 무한합니다.
댓글, 내용지적 등 모두 감사합니다