출처: https://forestunit.tistory.com/35 [미니도넛의 정보저장소:티스토리]

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삼각함수의 덧셈정리

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오늘은 삼각함수의 덧셈정리에 대해 알아보겠습니다.

먼저 삼각함수의 덧셈정리 공식은 아래와 같습니다.

누구나 외우는 공식이지만 이 글에서는 블로그 이름처럼 왜 그런지에 대해 알아보겠습니다.

삼각함수의 덧셈정리는 사실 원활하게 사용하기 위해서는 외워야 합니다.

몇몇 공식들은 그때그때 유도를 해서 사용한다고 해도,

이 공식은 암기 후 사용하는 것이 효율이 좋기 때문입니다.

특히 수능이라면 더욱 암기는 필수입니다.

 

그러나 암기를 해도 그냥 외우는 것과, 왜 그런지 유도과정을 한번이라도 보고 외우는 것은 차이가 있습니다.

이제부터 그 유도과정을 보여드리겠습니다.


먼저 sin(α+β)입니다.

위의 그림처럼 빗변의 길이가 1인 직각삼각형 ABC를 그려보겠습니다.

그림에서 우리가 구하고자 하는 sin(α+β)AC가 됩니다.

AC 를 구하기 위해 AB 를 빗변으로하며 B=β 인 직각삼각형 ABF를 그려봅니다.

F를 지나면서 AC와 평행한 선을 그어 ACDE가 직사각형이 되게 해줍니다.

그러면 AC=EF+FD이므로 EF+FD 의 값을 구하면 됩니다.

 

삼각형 ABF에서 AF=sinβ,BF=cosβ 입니다.

 

FBD=α이므로 BFD=90α입니다. 그러면 AFE=α가 됩니다.

이제  EF+FD를 구할 수 있습니다.

 

 EF=AFcosα,FD=BFsinα이므로

우리가 구하고자 하는

AC=EF+FD=sinβcosα+cosβsinα

=sinαcosβ+cosαsinβ


이번에는 cos(α+β)입니다.

이번에는 BC를 구하면 됩니다.

BC=BDCD 와 같이 구할 수 있습니다.

위에서 구한 AF=sinβ,BF=cosβ  라는 사실과

AFE=α 라는 사실을 다시 사용합니다.

AE=AFsinα

BD=BFcosα

이므로

BC=cosβcosαsinβsinα


마지막으로 tan(α+β)입니다.

tan(α+β)=ACBC 이므로 이 두 선분의 길이를 구해보겠습니다.

 

이번에는 계산의 편의를 위해 BD=1 이라고 합니다.

DF=tanα,BF=secα 라는 것은 바로 알 수 있습니다.

이어서 AF=BFtanβ=secαtanβ이고,

EF=AFtanα=AFtanα

=secαtanβtanα=tanβ  입니다.

 

우리가 구하려는 두 선분 중 AC=ED=EF+FD으로

하나의 길이는 구했고 이제 BC의 길이를 구해보겠습니다.

BC=1AE 이므로

AE=AFsinα=secαtanβsinα입니다.

tanα=sinαcosα=secαsinα이므로

AE=tanαtanβ 입니다.

 

이렇게 두 각을 더하는 경우의 삼각함수 공식에 대해 알아봤습니다.


이제  αβ인 경우를 보겠습니다.

αβ=α+(β)라고 생각하면 αβ인 경우는 추가로 외울 필요가 없습니다.

기본성질인

 

라는 점을 이용하면

 

처럼 자연스럽게 각의 차에 대한 식도 얻을 수 있습니다.

 

오타, 오류 지적, 질문 등 댓글 항상 감사합니다. 

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