0.들어가며
오늘은 삼각함수의 덧셈정리에 대해 알아보겠습니다.
먼저 삼각함수의 덧셈정리 공식은 아래와 같습니다.
누구나 외우는 공식이지만 이 글에서는 블로그 이름처럼 왜 그런지에 대해 알아보겠습니다.
삼각함수의 덧셈정리는 사실 원활하게 사용하기 위해서는 외워야 합니다.
몇몇 공식들은 그때그때 유도를 해서 사용한다고 해도,
이 공식은 암기 후 사용하는 것이 효율이 좋기 때문입니다.
특히 수능이라면 더욱 암기는 필수입니다.
그러나 암기를 해도 그냥 외우는 것과, 왜 그런지 유도과정을 한번이라도 보고 외우는 것은 차이가 있습니다.
이제부터 그 유도과정을 보여드리겠습니다.
1. α+β인 경우의 유도
1-1. sin(α+β)
먼저 sin(α+β)입니다.
위의 그림처럼 빗변의 길이가 1인 직각삼각형 ABC를 그려보겠습니다.
그림에서 우리가 구하고자 하는 sin(α+β)는 ¯AC가 됩니다.
¯AC 를 구하기 위해 ¯AB 를 빗변으로하며 ∠B=β 인 직각삼각형 ABF를 그려봅니다.
F를 지나면서 ¯AC와 평행한 선을 그어 ACDE가 직사각형이 되게 해줍니다.
그러면 ¯AC=¯EF+¯FD이므로 ¯EF+¯FD 의 값을 구하면 됩니다.
삼각형 ABF에서 ¯AF=sinβ,¯BF=cosβ 입니다.
∠FBD=α이므로 ∠BFD=90−α입니다. 그러면 ∠AFE=α가 됩니다.
이제 ¯EF+¯FD를 구할 수 있습니다.
¯EF=¯AFcosα,¯FD=¯BFsinα이므로
우리가 구하고자 하는
¯AC=¯EF+¯FD=sinβcosα+cosβsinα
=sinαcosβ+cosαsinβ
1-2. cos(α+β)
이번에는 cos(α+β)입니다.
이번에는 ¯BC를 구하면 됩니다.
¯BC=¯BD−¯CD 와 같이 구할 수 있습니다.
위에서 구한 ¯AF=sinβ,¯BF=cosβ 라는 사실과
∠AFE=α 라는 사실을 다시 사용합니다.
¯AE=¯AFsinα
¯BD=¯BFcosα
이므로
¯BC=cosβcosα−sinβsinα
1-3. tan(α+β)
마지막으로 tan(α+β)입니다.
tan(α+β)=¯AC¯BC 이므로 이 두 선분의 길이를 구해보겠습니다.
이번에는 계산의 편의를 위해 ¯BD=1 이라고 합니다.
¯DF=tanα,¯BF=secα 라는 것은 바로 알 수 있습니다.
이어서 ¯AF=¯BFtanβ=secαtanβ이고,
¯EF=¯AFtanα=¯AFtanα
=secαtanβtanα=tanβ 입니다.
우리가 구하려는 두 선분 중 ¯AC=¯ED=¯EF+¯FD으로
하나의 길이는 구했고 이제 ¯BC의 길이를 구해보겠습니다.
¯BC=1−¯AE 이므로
¯AE=¯AFsinα=secαtanβsinα입니다.
tanα=sinαcosα=secαsinα이므로
¯AE=tanαtanβ 입니다.
이렇게 두 각을 더하는 경우의 삼각함수 공식에 대해 알아봤습니다.
2. α−β인 경우의 유도
이제 α−β인 경우를 보겠습니다.
α−β=α+(−β)라고 생각하면 α−β인 경우는 추가로 외울 필요가 없습니다.
기본성질인
라는 점을 이용하면
처럼 자연스럽게 각의 차에 대한 식도 얻을 수 있습니다.
오타, 오류 지적, 질문 등 댓글 항상 감사합니다.