이차함수 밖의 점에서 그은 접점과 접선 쉽게 구하기

 

 

0. 들어가며

제가 학생때의 교육과정과 지금의 과정은 다르겠지만
아마 고등학교 중에 이차함수와 접선에 관해 배울것 입니다.
 
저도 비슷한 유형의 문제를 많이 풀었었던 기억이 있는데요,
학생들은 대부분 이 파트를 싫어할 겁니다.
뭐 아닐수도 있겠지만 저는 별로 안 좋아했어요.
 
이유가 뭘까요?
 
보통 귀찮은 계산, 반복되는 계산 때문이라고 생각합니다.
 
이 글에서는 고등교육과정의 정석적인 방법부터 먼저 소개하고
그 후 제목에서 얘기한 접선을 조금 더 빨리 구하는 방법에 대해 소개하겠습니다.

참고해주세요

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1. 정석적인 방법(미분 미사용)

먼저 미분을 배우지 않았다는 전제하에 사용하는 방법입니다.
먼저 $(m,n)$을 지나며 이차함수 $y=f(x)$에 접하는 직선의 기울기를 $k$라고 합니다.
그러면 접선의 식은 $y=k(x-m)+n$ 로 나타낼 수 있습니다.
 
$y=f(x)$와 접선은 한 점에서만 만나므로
이차방정식
$ax^2+bx+c=k(x-m)+n$ 은
중근을 가집니다.
그래서 판별식 $D=0$ 을 사용할 수 있습니다.
 
판별식을 사용하면
$(b-k)^2-4a(c+km-n)=0$
이 식은 $k$에 대한 이차방정식이므로
$k$의 값 2개를 구할 수 있고, 이는 두 접선 각각의 기울기입니다.
 
두 접선의 기울기를 구했고
곡선 밖의 한 점은 문제에서 주어지므로
접선의 식 두 가지 모두 완성할 수 있습니다.
 
이제 접점의 좌표를 구하려면
$y=f(x)$와 두 접선을 각각 연립해 근을 구하면
그 값이 접점의 $x$좌표가 됩니다.
따라서 접점도 구할 수 있습니다.
 
<정리>
1.기울기 미지수 $k$를 이용해 접선의 식 나타내기
2. $f(x)=$접선의 식 으로 놓고 $D=0$ 사용해 $k$값 구하기
3. $k$값을 사용해 접선의 식 완성하기
4. 접선과 $f(x)$를 연립해 접점 구하기

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<1번방식풀이>
접선을 $y=k(x-2)-1$ 라 하자.
곡선과 접선은 한점에서 만나므로
$x^2-2x+3=k(x-2)-1$
$D=(2+k)^2-4(4+2k)=0$
$k^2-4k-12=0$
$\therefore k=-2$ or $k=6$
따라서 접선의 식은
$y=-2x+3$ , $y=6x-13$
 
접점을 구하기 위해
$x^2-2x+3=-2x+3$
$x^2=0$    $\therefore x=0$ 
$x^2-2x+3=6x-13$
$x^2-8x+16=0$   $\therefore x=4$
접점은 $(0,3), (4,11)$
 

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2. 정석적인 방법(미분 사용)

이번에는 미분을 사용하는 방법입니다.
접점의 좌표는 $(t, f(t))$이라고 한다면
접선의 기울기는 $f '(t)$입니다.
그러면 접선의 식은
$y=f '(t)(x-t)+f(t)$ 가 되고
이 식은 $(m,n)$을 지나기 때문에 대입을 해도 됩니다.
그래서 대입하여 나온 $n=f '(t)(m-t)+f(t)$ 은 $t$에 대한 이차방정식이므로
$t$의 값을 구할 수 있습니다.
나온 각각의 $t$의 값을 $y=f(x)$에 대입하면 접점의 좌표가 바로 나오게 됩니다.
 
직선은 지나는 점 두개를 알면 식을 구할 수 있고
접점의 좌표와 곡선밖의 점은 문제에서 주어졌으니
접선의 식도 구할 수 있습니다.
 
<정리>
1.접점의 좌표를 $(t,f(t))$라 놓기
2. 접선의 식 $y=f '(t)(x-t)+f(t)$에 $(m,n)$대입해 $t$구하기
3. 접점의 좌표 구하기
4. 접점과 외부의 점으로 접선의 식 구하기

<2번방식풀이>
접점의 좌표를 $(t, f(t))$라 하자.
$f '(x)=2x-2$ 이므로
접점을 지나는 접선의 식은
$y=(2t-2)(x-t)+t^2-2t+3$
이 식은 $(2,-1)$을 지나므로
$-1=(2t-2)(2-t)+t^2-2t+3$
$-1=-t^2+4t-1$
$\therefore t=0$ or $t=4$
따라서 접점은 $(0,3) , (4,11)$
 
$(0,3)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선과
$(4,11)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선을 구하면 
$y=-2x+3$ , $y=6x-13$
 
 
 
 

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3. 오늘 소개할 방법

마지막으로 이 글을 쓴 이유이자
가장 빠르다고 생각하는 방법을 소개하겠습니다.
이차함수의 성질을 사용합니다.

먼저 이 방법의 원리에 대해 알아보겠습니다.
먼저 이차함수 $y=f(x)$와
이 함수 위의 점$(t, f(t))$에서의 접선을 $y=g(x)$라고 하겠습니다.

그리고 밑에 그림처럼 $f(x)$에서 $g(x)$를 뺀 모습을 생각해주겠습니다.

잠깐 기본적인 이차함수인 $y=ax^2$을 참고하면  (아래 왼쪽그림)

$(m,0)$에서 함수까지의 높이는 $(am^2)$라고 할 수 있습니다.

이것을 위에서 얘기한 $y=f(x)-g(x)$에 적용하겠습니다. (아래 오른쪽그림)

여기서 $g(x)$는 일차함수이므로 이차항 계수 $a$는 $f(x)$의 이차항계수를 따라갑니다.

따라서$\alpha = \sqrt{\frac{h}{a}}$의 공식이 성립합니다.

이제 우리의 원래 그림으로 돌아가보겠습니다.

위의 내용을 양쪽 접선에 각각 적용시키면

아래 그림과 같다는 것을 알 수 있습니다.

여기서도 마찬가지로
$\alpha = \sqrt{\frac{h}{a}}$

라는 공식이 성립합니다.

 

그런데 $g(m)=n$이기 때문에 $h=f(m)-n$입니다.

따라서 $\alpha = \sqrt{\frac{ f(m)-n }{a}}$ 가 되고

많은 문제에서 그렇듯이 이차항의 계수가 1이라면 공식은 더 간단해져서

$\alpha = \sqrt{f(m)-n}$가 됩니다.

 

따라서 접점의 $x$좌표는  $m \pm \alpha$로 두 개를 모두 구할 수 있습니다.

접점의 $x$좌표를 구했으므로 그 후는 기존처럼

두 점을 지나는 직선의 식을 사용해 접선의 식을 구하면 되겠습니다.
 
<정리>
1. $h=f(m)-n$
2. $\alpha = \sqrt{\frac{h}{a}}$

3. 접점의 $x$좌표 :$m \pm \alpha$

<3번방식풀이>
$h=f(2)-(-1)=4$

$\therefore \alpha=\sqrt{4}=2$

접점의 $x$좌표는 $2\pm2=0, 4$

따라서 접점의 좌표는 $(0,3) , (4,11)$

$(0,3)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선과
$(4,11)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선을 구하면 
$y=-2x+3$ , $y=6x-13$

 

 

 

 

 

 

 

 

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4. 마치며

마지막 방법은 만약 문제에서 접점의 좌표만 구하라고 한다면

암산이 가능할 만큼 빠르게 계산할 수 있습니다.

 

또, 정석으로 푼 문제에 대해 검산할 때도 사용할 수 있습니다.

아마 다들 경험해봤듯이 검산을 풀때와 같은 방법으로 하게되면내가 오류를 낸 지점에서 오류를 찾지 못하고 넘어갈 확률이 높습니다.

특히 수능 같은 시간이 빠듯한 시험에서는 이런 단순 계산 문제에서 시간을 절약하고

다른 어려운 문제에 더 많은 시간을 투자하는 것이 고득점에 더 가까워질 수 있는 방법일 것입니다.

 

글을 봐주셔서 감사드리며

질문, 오류지적, 댓글 모두 감사합니다.