팁
이차함수 밖의 점에서 그은 접점과 접선 쉽게 구하기
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0. 들어가며
제가 학생때의 교육과정과 지금의 과정은 다르겠지만
아마 고등학교 중에 이차함수와 접선에 관해 배울것 입니다.
저도 비슷한 유형의 문제를 많이 풀었었던 기억이 있는데요,
학생들은 대부분 이 파트를 싫어할 겁니다.
뭐 아닐수도 있겠지만 저는 별로 안 좋아했어요.
이유가 뭘까요?
보통 귀찮은 계산, 반복되는 계산 때문이라고 생각합니다.
이 글에서는 고등교육과정의 정석적인 방법부터 먼저 소개하고
그 후 제목에서 얘기한 접선을 조금 더 빨리 구하는 방법에 대해 소개하겠습니다.
1. 정석적인 방법(미분 미사용)
먼저 미분을 배우지 않았다는 전제하에 사용하는 방법입니다.
먼저 $(m,n)$을 지나며 이차함수 $y=f(x)$에 접하는 직선의 기울기를 $k$라고 합니다.
그러면 접선의 식은 $y=k(x-m)+n$ 로 나타낼 수 있습니다.
$y=f(x)$와 접선은 한 점에서만 만나므로
이차방정식
$ax^2+bx+c=k(x-m)+n$ 은
중근을 가집니다.
그래서 판별식 $D=0$ 을 사용할 수 있습니다.
판별식을 사용하면
$ (b-k)^2-4a(c+km-n)=0 $
이 식은 $k$에 대한 이차방정식이므로
$k$의 값 2개를 구할 수 있고, 이는 두 접선 각각의 기울기입니다.
두 접선의 기울기를 구했고
곡선 밖의 한 점은 문제에서 주어지므로
접선의 식 두 가지 모두 완성할 수 있습니다.
이제 접점의 좌표를 구하려면
$ y=f(x)$와 두 접선을 각각 연립해 근을 구하면
그 값이 접점의 $x$좌표가 됩니다.
따라서 접점도 구할 수 있습니다.
<정리>
1.기울기 미지수 $k$를 이용해 접선의 식 나타내기
2. $f(x)=$접선의 식 으로 놓고 $D=0$ 사용해 $k$값 구하기
3. $k$값을 사용해 접선의 식 완성하기
4. 접선과 $f(x)$를 연립해 접점 구하기
<1번방식풀이>
접선을 $y=k(x-2)-1$ 라 하자.
곡선과 접선은 한점에서 만나므로
$x^2-2x+3=k(x-2)-1$
$D=(2+k)^2-4(4+2k)=0$
$k^2-4k-12=0$
$\therefore k=-2$ or $k=6$
따라서 접선의 식은
$y=-2x+3$ , $y=6x-13$
접점을 구하기 위해
$x^2-2x+3=-2x+3$
$x^2=0$ $\therefore x=0$
$x^2-2x+3=6x-13$
$x^2-8x+16=0$ $\therefore x=4$
접점은 $(0,3), (4,11)$
2. 정석적인 방법(미분 사용)
이번에는 미분을 사용하는 방법입니다.
접점의 좌표는 $(t, f(t))$이라고 한다면
접선의 기울기는 $f '(t)$입니다.
그러면 접선의 식은
$y=f '(t)(x-t)+f(t)$ 가 되고
이 식은 $(m,n)$을 지나기 때문에 대입을 해도 됩니다.
그래서 대입하여 나온 $n=f '(t)(m-t)+f(t)$ 은 $t$에 대한 이차방정식이므로
$t$의 값을 구할 수 있습니다.
나온 각각의 $t$의 값을 $y=f(x)$에 대입하면 접점의 좌표가 바로 나오게 됩니다.
직선은 지나는 점 두개를 알면 식을 구할 수 있고
접점의 좌표와 곡선밖의 점은 문제에서 주어졌으니
접선의 식도 구할 수 있습니다.
<정리>
1.접점의 좌표를 $(t,f(t))$라 놓기
2. 접선의 식 $y=f '(t)(x-t)+f(t)$에 $(m,n)$대입해 $t$구하기
3. 접점의 좌표 구하기
4. 접점과 외부의 점으로 접선의 식 구하기
<2번방식풀이>
접점의 좌표를 $(t, f(t))$라 하자.
$f '(x)=2x-2$ 이므로
접점을 지나는 접선의 식은
$y=(2t-2)(x-t)+t^2-2t+3$
이 식은 $(2,-1)$을 지나므로
$-1=(2t-2)(2-t)+t^2-2t+3$
$-1=-t^2+4t-1$
$\therefore t=0$ or $t=4$
따라서 접점은 $(0,3) , (4,11)$
$(0,3)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선과
$(4,11)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선을 구하면
$ y=-2x+3 $ , $y=6x-13$
3. 오늘 소개할 방법
마지막으로 이 글을 쓴 이유이자
가장 빠르다고 생각하는 방법을 소개하겠습니다.
이차함수의 성질을 사용합니다.
먼저 이 방법의 원리에 대해 알아보겠습니다.
먼저 이차함수 $y=f(x)$와
이 함수 위의 점$(t, f(t))$에서의 접선을 $y=g(x)$라고 하겠습니다.
그리고 밑에 그림처럼 $f(x)$에서 $g(x)$를 뺀 모습을 생각해주겠습니다.
잠깐 기본적인 이차함수인 $y=ax^2$을 참고하면 (아래 왼쪽그림)
$(m,0)$에서 함수까지의 높이는 $(am^2)$라고 할 수 있습니다.
이것을 위에서 얘기한 $y=f(x)-g(x)$에 적용하겠습니다. (아래 오른쪽그림)
여기서 $g(x)$는 일차함수이므로 이차항 계수 $a$는 $f(x)$의 이차항계수를 따라갑니다.
따라서$\alpha = \sqrt{\frac{h}{a}}$의 공식이 성립합니다.
이제 우리의 원래 그림으로 돌아가보겠습니다.
위의 내용을 양쪽 접선에 각각 적용시키면
아래 그림과 같다는 것을 알 수 있습니다.
여기서도 마찬가지로
$\alpha = \sqrt{\frac{h}{a}}$
라는 공식이 성립합니다.
그런데 $g(m)=n$이기 때문에 $h=f(m)-n$입니다.
따라서 $\alpha = \sqrt{\frac{ f(m)-n }{a}}$ 가 되고
많은 문제에서 그렇듯이 이차항의 계수가 1이라면 공식은 더 간단해져서
$\alpha = \sqrt{f(m)-n}$가 됩니다.
따라서 접점의 $x$좌표는 $m \pm \alpha$로 두 개를 모두 구할 수 있습니다.
접점의 $x$좌표를 구했으므로 그 후는 기존처럼
두 점을 지나는 직선의 식을 사용해 접선의 식을 구하면 되겠습니다.
<정리>
1. $h=f(m)-n$
2. $\alpha = \sqrt{\frac{h}{a}}$
3. 접점의 $x$좌표 :$m \pm \alpha$
<3번방식풀이>
$h=f(2)-(-1)=4$
$\therefore \alpha=\sqrt{4}=2$
접점의 $x$좌표는 $2\pm2=0, 4$
따라서 접점의 좌표는 $(0,3) , (4,11)$
$(0,3)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선과
$(4,11)$과 $(2,-1)$을 지나는 직선을 구하면
$ y=-2x+3 $ , $y=6x-13$
4. 마치며
마지막 방법은 만약 문제에서 접점의 좌표만 구하라고 한다면
암산이 가능할 만큼 빠르게 계산할 수 있습니다.
또, 정석으로 푼 문제에 대해 검산할 때도 사용할 수 있습니다.
아마 다들 경험해봤듯이 검산을 풀때와 같은 방법으로 하게되면내가 오류를 낸 지점에서 오류를 찾지 못하고 넘어갈 확률이 높습니다.
특히 수능 같은 시간이 빠듯한 시험에서는 이런 단순 계산 문제에서 시간을 절약하고
다른 어려운 문제에 더 많은 시간을 투자하는 것이 고득점에 더 가까워질 수 있는 방법일 것입니다.
글을 봐주셔서 감사드리며
질문, 오류지적, 댓글 모두 감사합니다.
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소중한 공감 감사합니다